Вероятность Ятзи

Санта принес моим детям игру в Яхтзи на Рождество. Мы много играли в нее по вечерам. Когда катится яхта, мои дети сходят с ума.

В этой записи в блоге я собираюсь изучить вероятность катания Yahtzee.

Yahtzee- это игра с пятью шестигранными кубиками. Игрок бросает кости, проверяет результаты и может оставить сколько угодно кубиков, перебрасывая остаток. После второго броска процесс повторяется (при желании игрок может забрать кости, удерживаемые в первом раунде). После (до) трех бросков кубики оцениваются по различным категориям. Ятзи (набрав 50 очков) достигается за счет того, что все пять кубиков совпадают.

Предположения

Мы собираемся предположить, что игрок умный игрок и в каждой точке принятия решения делает самый разумный из возможных вариантов переброса и удержания.

Вероятность получить Ятзи за один рулон легко подсчитать. Существует пять кубиков, поэтому независимо от того, что бросает первый кубик, есть 1/6 шанс, что второй кубик будет с тем же номером. Если это произойдет, есть 1/6 шанс, что третий кубик будет таким же, как четвертый и пятый.

Таким образом, вероятность выпадения Яхзти в одном рулоне составляет 1/6 x 1/6 x 1/6 x 1/6 = 1/1296.

Однако с тремя бросками и удержанием все становится немного сложнее. Количество кубиков, которые мы бросаем каждый ход, можно изменить, и есть много возможных комбинаций, которые следует учитывать. Поскольку состояние кубиков в начале каждого броска не зависит от того, как были брошены кубики, это прекрасный шанс развернуть один из моих любимых инструментов, Цепь Маркова(для получения дополнительной информации об этом см. Мои предыдущие публикации на CandyLand , желоба и лестницы).

Комбинатроника

Однако, прежде чем углубляться в цепочку Маркова, нам будет полезно изучить различные способы броска комбинаций кубиков. Это упражнение значительно упростит создание матрицы перехода (поверьте мне в этом). Вот так …

2 кубика

Это тривиальный случай. Есть только два способа бросания двух кубиков. Они либо совпадают, либо нет. Вероятность того, что второй из двух кубиков совпадет с первым, составляет 1/6, и, наоборот, вероятность того, что он не совпадет, составляет 5/6. Вероятности, конечно, должны быть в сумме до 1 (одно из двух событий должно произойти).

Другой способ взглянуть на это состоит в том, что существует 36 возможных комбинаций для двух кубиков, которые нужно бросить. В шести из этих комбинаций , , , , , числа совпадают, а в 30 из этих комбинаций , кости разные.

Эти результаты показаны графически на изображении выше. Вероятность того, что оба кубика будут одинаковыми, составляет 6/36: , и вероятность 30/36, что они будут другими, представленные как

3 кубика

Это становится немного сложнее, но не намного. Здесь есть три возможных варианта результата для трех кубиков: либо все они одинаковы, либо все разные, либо будет два из одного числа и один из другого. Существует 216 возможных способов бросить три кубика (6 x 6 x 6).

Мы можем легко вычислить вероятность того, что все они будут одинаковыми, как 1/6 x 1/6 = 1/36 (второй кубик соответствует первому 1 раз из 6, а третий - снова 1 раз из 6. ).

В качестве альтернативы, мы можем представить, что из 216 возможных способов выпадения кубика существует шесть возможных способов, когда все они одинаковы: , , , , , .

Вероятность того, что все они будут разными, можно рассчитать, используя следующую логику: первый кубик может быть любым, затем второй кубик с вероятностью 5/6 не будет таким же, как первый кубик. Наконец, есть шанс 4/6, что третий кубик будет отличаться от первых двух. Таким образом, вероятность того, что все кости будут разными, составляет 5/6 x 4/6 = 20/36, что можно не упрощать до 120/216. Есть 120 возможных комбинаций из 216 возможных исходов, где все три кубика различны. .

Поскольку мы знаем, что сумма всех вероятностей для броска трех кубиков должна составлять в сумме 1,0, мы можем сделать вывод, что вероятность того, что два кубика будут одинаковыми. составляет 90/216 (что составляет 1 6/216 120/216).

(Если вы хотите убедить себя в этом, подумайте об этом так: есть шесть возможных значений, которыми может быть A, пять возможных значений того, что может быть B, и три возможных варианта, из которыхкубик может быть B. Это 6 x 5 х 3 = 90 комбинаций из 216).

4 кубика

Сейчас все становится немного сложнее. Они могут быть все одинаковы, все разные, три одинаковых, два лота из двух пар или пара с двумя разными одиночками.

Существует 1296 способов расположения четырех кубиков (6 x 6 x 6 x 6). Результаты показаны ниже:

Здесь нам нужно быть особенно осторожными, потому что мы не хотим двойного счета. При подсчете двух лотов по две пары мы должны убедиться, что мы случайно не посчитали как дванабора по двойным пятеркам и не поместили это в число ведро, потому что это действительно четыре штукии должно быть в ведро. Если мы посчитаем дважды, вероятность станет больше 1.0!

Вывести приведенную выше таблицу можно разными способами. Те из вас, кто изучал математику в университете, могут использовать биномиальное разложение для вычисления перестановок. В качестве альтернативы, как мы обсуждали на странице анализа рисков, количество комбинаций настолько мало (всего 1296), что вы можете просто перебрать все комбинации в коде и подсчитать их.

На самом деле это хорошее умственное упражнение - поработать над выводом этих чисел, чтобы убедить себя, что числа верны. Например составляет 1/6 x 1/6 x 1/6 для шансов, что второй, третий и четыре кубика совпадают с первым. (Альтернативное мышление состоит в том, что есть только шесть способов получить каре = 6/1296).

Для троих есть шесть возможных чисел, которыми может быть A, и пять возможных чисел, которыми может быть B, и четыре положения для игральных костей B, что составляет 6 x 5 x 4 комбинации = 120/1296.

Чтобы все кости были разными есть вероятность 5/6, что второй кубик отличается от первого, и шанс 4/6, что третий является уникальным, и шанс 3/6, что четвертый. 5/6 х 4/6 х 3/6 = 60/216 = 360/1296.

Интересное примечание: при броске четырех кубиков наиболее вероятным исходом является то, что вы получите пару, и с вероятностью более 72,2% вы получите хотя бы пару (720 + 90 + 120 + 6 ) / 1296

5 кубиков

Теперь дела идут немного напряженно! Для пяти кубиков существует 7776 возможных комбинаций. Результаты показаны ниже. В интересах краткости я не собираюсь выводить их все здесь (возможно, в будущем сообщении в блоге), а просто покажу результаты, чтобы мы могли вернуться к цепи Маркова.

Интересное примечание - Вероятность выпадения FullHouseза один рулон составляет 300/7776 ср.Карепо цене 150/7776. Согласно нашим правилам, фулл-хаус набирает 25 очков и (максимум) каре может набрать 30 очков (все шестерки - за исключением бонуса Ятзи), так что фулл-хаус - это легкий сбор очков, который вдвое проще, чем получить как четверка!

Интересное примечание - С пятью кубиками есть 7056/7776 шанс, что вы получите пару или лучше при первом броске (90,7%).

Вернуться к Маркову

Чтобы выполнить наш марковский анализ, нам нужно создать матрицу перехода,которая определяет вероятность перехода между каждым состоянием.

В качестве состояний я собираюсь выбрать количество совпадающих игральных костейв наборе, поэтому у нас есть 5 состояний: 1, 2, 3, 4, 5 (здесь «1» совпадающая игральная кость также может быть описана как одноэлементная). . В результате получается матрица из 25 элементов.

Наша матрица будет верхнетреугольной по своей природе (мы сделали предположение, что это умный игрок, поэтому, если выпадает тройка одного вида, мы не собираемся предлагать игроку перебросить часть этого числа, чтобы получить Яхтзи!). Матрица перехода покажет вероятности перехода из любого состояния в то же состояние или в более высокое.

Вот матрица перехода. Нам нужно заполнить каждое местоположение, содержащее ' ?'с вероятностью перехода из состояния, представленного номером столбца, в состояние, представленное номером строки. (Все остальные места имеют нулевую вероятность). Вот так …

Первые несколько записей легко заполнить. Вероятность перехода из состояния 5 в состояние 5 равна 1,0. Как только мы достигнем Яхтзи, мы собираемся сохранить его и больше не бросать кости, так что есть 100% уверенность, что мы » буду держать в таком состоянии!

Если в настоящее время у нас есть 4 совпадающих кубика, есть 1/6 шанс, что мы выбросим правильное число, чтобы получилось 5, и, соответственно, 5/6 остаемся в состоянии 4.

Стохастический характер матрицы перехода сохраняется, потому что сумма строки этой матрицы равна 1,0 (что-то должно произойти, и это будет одно из этих изменений состояния).

В состоянии 3 нужно перебросить два кубика, что дает 36 возможных комбинаций. (Вернемся к разделу комбинатроники выше).

Существует 1/36 шанс, что оба кубика совпадут с текущей тройкой,чтобы получить Ятзи, и эта вероятность помещается в строку 3 и столбец 5.

Существует вероятность 25/36, что у игрока все еще будет триодинаковых кубика в конце следующего броска (вероятность пропуска первого кубика 5/6, умноженная на вероятность пропуска второго кубика 5/6).

Наконец, есть 10/36 шанс получить один дополнительный номер , чтобы сделать каре. Это 1/6 x 5/6, и это может быть достигнуто двумяразными способами (либо первый кубик совпадает, либо второй).

Сейчас все становится немного сложнее, поэтому мы притормозим.

Для перехода из состояния 2 в состояние 5 необходимо, чтобы все три повторно брошенных кубика совпадали с текущей парой. Это происходит с вероятностью 1/216 (что составляет 1/6 x 1/6 x 1/6).

Точно так же переход от ничего не совпадающего (состояние 1) к состоянию 5 эквивалентно бросанию Яхтзи за один раз (потому что все кости перебрасываются). Это 1/1296, рассчитанное как (1/6 x 1/6 x 1/6 x 1/6).

Мы можем ввести еще два коэффициента.

Если вам не повезло, и у вас ничего не совпало (состояние 1), и вы перебросили все кубики, вероятность того, что снова ничего не совпадет, составит 120/1296 (это 5/6 шанс того, что второй кубик не совпадет, за которым следует 4/6 для третьего и 3/6 для четвертого и 2/6 для пятого).

Шансы прокатки карев одном рулоне являются 25/1296 (Что 150/7776 Вспомните раздел Combinatronics Его вычисленного получая четыре кубика то же самое:.? 1/6 х 1/6 х 1 / 6, причем последний кубик не соответствует 5/6, и есть пять возможных способов его формирования с пятью возможными местоположениями для B в наборе .

Если это не совсем очевидно, вероятности в верхней строке (переход от ничего не совпадающего к любому другому состоянию) - это вероятности исхода первого броска.

Вероятность выпадения тройки заодин рулон составляет 250/1296. Это немного сложнее вычислить, и мы должны быть осторожны. Это происходит по одной из двух схем. и . Ссылаясь на раздел комбинатроники выше (помните, я сказал, что это будет полезно?), Мы видим, что встречается 300/7776 раз ( фулл-хаус) и ( тройка) встречается 1200/7776. Складывая их вместе (вероятностный способ сказать ИЛИ), мы получаем 1500/7776, что сокращается до 250/1296.

Чтобы заполнить последний элемент в этой строке (получая пару), мы снова должны быть осторожны. Следует учитывать два набора: и . ( Одна параи две пары). Поскольку мы идем за Ятзи, мы бросаем одну из пар вместе с одиночкой. Вероятность выпадения пары составляет 1800/7776 + 3600/7776 = 5400/7776 или 900/1296).

Также приятно знать, что все вероятности в этой строке в сумме дают 1,0 (120/1296 + 900/1296 + 250/1296 + 25/1296 + 1/1296).

Переход от пары(состояние 2) до четырех из вида(состояние 4) есть вероятность 15/216.

Существует 1/6 шанс того, что один из кубиков совпадет, затем другой 1/6 шанс, что другой, умноженный на шанс 5/6, что последний кубик не совпадает. Есть три возможных варианта того, какой из кубиков равен 5/6, поэтому конечная вероятность = 3 x 1/6 x 1/6 x 5/6 = 15/216.

Теперь о двух последних хитрых. Почитав немного в Интернете, люди, кажется, ошибаются в своих расчетах. Сложность возникает из-за того, что при повторном броске трех кубиков вы, возможно, захотите «спрыгнуть с корабля»относительно того, к чему вы стремитесь. Например, если вы выбросили парупри первом броске, сохранили эту пару и повторно бросили три кубика, и все эти три кубика выпали одинаково (но не совпадали с парой, иначе это был бы Ятзи!), Тогда в следующем броске вы захотите оставить тройкуи перебросить пару. Эта тонкость изменяет вероятности.

Давайте поработаем над этим - мы сохранили пару и перебросили три кубика. Вспомните из нашей комбинатроники с тремя игральными костями, что три кубика выпадают все равно с вероятностью 1/6 x 1/6 = 1/36 = 6/216, но в одном из этих случаев выпавшее число будет таким же, как и пара ( вызывая Yahtzee), поэтому нам нужно вычесть этот падеж. Таким образом, шанс преобразования двойкив тройкусоставляет 6/216 1/216 = 5/216.

Чтобы коэффициент перехода от пары(состояние 2) к тому, чтобы остаться парой(состояние 2), нам нужна базовая вероятность этого, которая просто равна 5/6 x 5/6 x 5/6 (все три кубика не попадают в поле зрения). совпадение пары), и из этого нам нужно вычесть вероятность того, что все эти три кубика одинаковы и не образуют Яхтзи (5/216), поэтому окончательный результат для этого элемента = 125/216 ± 5/216 = 120/216.

Точно так же обратный трюк для вероятности перехода из состояния пары2 в состояние тройки одного вида3. Здесь базовая вероятность перехода из состояния 2 в состояние 3 составляет 75/216 (бросаются три кубика с вероятностью совпадения 1/6, затем две вероятности промаха 5/6, и есть три комбинации способов, которыми это может быть достигнуто, что составляет 3 x 1/6 x 5/6 x 5/6). К этой базовой вероятности 75/216 нам нужно добавить шанс 5/216 сверху, что мы получили, к тройке наэтом альтернативном маршруте.

Таким образом, последний элемент, необходимый для завершения нашей матрицы переходаиз состояния 2 в состояние 3, равен 75/216 + 5/216 = 80/216.

Также приятно подсчитать, что вероятности в этой строке равны 1.0! (120/216 + 80/216 + 15/216 + 1/216). Это помогает подтвердить правильность наших расчетов.

Наша матрица перехода завершена!

Умножение матриц

Теперь мы вводим единичный вектор-столбец и умножаем его на матрицу перехода. Результирующий выходной вектор-строка показывает вероятности распределения состояний, в которых может находиться игральная кость. Теперь мы можем взять этот выходной сигнал и снова использовать его в качестве входа,и на этот раз выход представляет собой суперпозицию вероятностей для игральных костей в точке конец второго рулона. Чтобы получить вероятность получить Ятзи на (или раньше) трех бросках, мы умножаем последний раз и считываем результат первого элемента (состояние 5) в конечном выходном векторе.

(С этого момента я переключаюсь на десятичные дроби / проценты для представления вероятностей, потому что используемые дроби слишком неудобны для ввода и чтения).

Результаты

Вероятность получения Yahtzeeсоставляет 4,6029%

Красивые графики

Если вы пропустили бросок Ятзи, что произойдет, если вы снова бросите? (как иногда пытаются делать мои дети!) И снова? И снова? …

Ниже приведена диаграмма, показывающая процентный шанс получить яхтзее в n-рулонах. По оси абсцисс отложено количество бросков, а по оси ординат - процентный шанс.

Кривая асимптотически приближается к 100% и пересекает более 50% при повороте №10. Чтобы быть уверенным в том, что катает яхту на 95%, вам нужно 23 бочки.

Часто вы пропускаете попытку Яхтзи. Какова разбивка вероятностей? Насколько велика вероятность того, что у вас будет четверка во времясъемок для своего Yahtzee? Эту информацию легко получить, прочитав значение из выходного вектора цепи Маркова для состояния 4. (Вероятность того, что вы в конечном итоге с карев трех валков 24,476%, и Три видаявляется 45,240%). В таблице слева показано процентное распределение первых 25 рулонов.

Ниже представлены те же данные, представленные в графическом формате. Обратите внимание, что после 9 бросков наиболее вероятным событием становится ятзи , и вероятность того, что в итоге окажется параили синглтон,быстро упадет до шума.

Индивидуальные графики

Вот те же данные, но каждая кривая нанесена на собственную ось.

При первом броске вы, скорее всего, получите пару, но после этого шансы получить только пару быстро уменьшаются. (Вам должно быть невероятно не повезло).

Вы можете найти полный список всех статей здесь. Щелкните здесь, чтобы получать уведомления о новых статьях по электронной почте.

ПОПУЛЯРНЫЕ СТАТЬИ