Геометрические последовательности

Многие рабочие места предлагают ежегодное повышение стоимости жизни, чтобы зарплаты соответствовали инфляции. Предположим, например, что недавний выпускник колледжа находит должность менеджера по продажам с годовой зарплатой в 26000 долларов. Ему обещают увеличение стоимости жизни на 2% каждый год. Его годовой оклад в любой год можно найти, умножив его зарплату за предыдущий год на 102%. Его зарплата через год составит 26 520 долларов; 27 050,40 долларов через два года; 27 591,41 доллара через три года; и так далее. Когда заработная плата увеличивается на постоянную величину каждый год, она увеличивается на постоянный коэффициент. В этом разделе мы рассмотрим последовательности, которые растут таким образом.

Поиск общих соотношений

Описанные значения годовой заработной платы образуют геометрическую последовательность,потому что они меняются с постоянным коэффициентом каждый год. Каждый член геометрической последовательности увеличивается или уменьшается на постоянный коэффициент, называемый общим отношением. Приведенная ниже последовательность является примером геометрической последовательности, поскольку каждый член увеличивается на постоянный коэффициент 6. Умножение любого члена последовательности на общий коэффициент 6 дает следующий член.

Определение геометрической последовательности

Геометрическая последовательность - это последовательность, в которой любой член, деленный на предыдущий, является константой. Эта константа называется общим отношением последовательности. Общее соотношение можно найти, разделив любой член в последовательности на предыдущий. Если - начальный член геометрической последовательности и - обычное отношение, последовательность будет

Как

Учитывая набор чисел, определите, представляют ли они геометрическую последовательность.

  1. Разделите каждый срок на предыдущий.
  2. Сравните частные. Если они одинаковы, существует общее соотношение и последовательность геометрическая.

Поиск общих соотношений

Последовательность геометрическая? Если да, найдите общее отношение.

Последовательность геометрическая, потому что есть общее соотношение. Обычное отношение - 2.

Последовательность не геометрическая, потому что нет общего отношения.

Анализ

График каждой последовательности показан на (Рисунок). Из графиков видно, что оба элемента (a) и (b) имеют форму графика экспоненциальной функции в этом окне просмотра. Однако мы знаем, что (a) геометрическое, и поэтому эта интерпретация верна, а (b) - нет.

Если вам говорят, что последовательность геометрическая, нужно ли вам разделить каждый член на предыдущий, чтобы найти общее отношение?

Нет. Если вы знаете, что последовательность геометрическая, вы можете выбрать любой член в последовательности и разделить его на предыдущий, чтобы найти общее отношение.

Попробуй

Последовательность геометрическая? Если да, найдите общее отношение.

Последовательность не геометрическая, т.к.

Попробуй

Последовательность геометрическая? Если да, найдите общее отношение.

Последовательность геометрическая. Общее отношение есть.

Написание терминов геометрических последовательностей

Теперь, когда мы можем идентифицировать геометрическую последовательность, мы научимся находить члены геометрической последовательности, если нам дан первый член и общее отношение. Члены геометрической последовательности можно найти, начав с первого члена и многократно умножая на обычное отношение. Например, если первый член геометрической последовательности равен, а общее отношение равно, мы можем найти последующие члены, умножая, чтобы получить, затем умножая результат, чтобы получить, и так далее.

Первые четыре члена

Как

Учитывая первый член и общий множитель, найдите первые четыре члена геометрической последовательности.

  1. Умножьте начальный член на обычное отношение, чтобы найти следующий член,
  2. Повторите процесс, используя для поиска, а затем для поиска, пока не будут определены все четыре термина.
  3. Напишите термины, разделенные запятыми, в скобках.

Написание терминов геометрической последовательности

Перечислите первые четыре члена геометрической последовательности с помощью и

Умножьте на, чтобы найти. Повторите процесс, используя, чтобы найти,

и так далее.

Первые четыре члена

Попробуй

Перечислите первые пять членов геометрической последовательности с помощью и

Использование рекурсивных формул для геометрических последовательностей

Рекурсивная формула позволяет нам найти любой член геометрической последовательности, используя предыдущий термин. Каждый член является продуктом обычного отношения и предыдущего члена. Например, предположим, что обычное отношение равно 9. Тогда каждый член в девять раз больше предыдущего. Как и в любой рекурсивной формуле, необходимо указать начальный член.

Рекурсивная формула для геометрической последовательности

Рекурсивная формула для геометрической последовательности с общим отношением и первым членом:

Как

Учитывая первые несколько членов геометрической последовательности, напишите ее рекурсивную формулу.

  1. Укажите начальный срок.
  2. Найдите общее соотношение, разделив любой термин на предыдущий.
  3. Подставьте обычное отношение в рекурсивную формулу геометрической последовательности.

Использование рекурсивных формул для геометрических последовательностей

Напишите рекурсивную формулу для следующей геометрической последовательности.

Первый член равен 6. Обычное отношение можно найти, разделив второй член на первый член.

Подставьте обычное отношение в рекурсивную формулу для геометрических последовательностей и определите

Анализ

Последовательность точек данных следует экспоненциальному шаблону. Обычное отношение также является основой экспоненциальной функции, как показано на (Рисунок).

Нужно ли нам разделить второй член на первый член, чтобы найти общее отношение?

Нет. Мы можем разделить любой термин в последовательности на предыдущий. Однако чаще всего второй член делится на первый член, потому что это часто самый простой метод определения общего отношения.

Попробуй

Напишите рекурсивную формулу для следующей геометрической последовательности.

Использование явных формул для геометрических последовательностей

Поскольку геометрическая последовательность является экспоненциальной функцией, областью определения которой является набор положительных целых чисел, а обычное отношение является основой функции, мы можем писать явные формулы, которые позволяют нам находить определенные термины.

Давайте посмотрим на последовательность. Это геометрическая последовательность с общим отношением 2 и экспоненциальной функцией с основанием 2. Явная формула для этой последовательности:

График последовательности представлен на (Рисунок).

Явная формула для геометрической последовательности

П - й член геометрической последовательности задается явной формулой:

Написание терминов геометрических последовательностей с использованием явной формулы

Учитывая геометрическую последовательность с и найти

Найдите общее отношение, используя данный четвертый член.

Найдите второй член, умножив первый член на обычное отношение.

Анализ

Обычное отношение умножается на первый член один раз, чтобы найти второй член, дважды, чтобы найти третий член, трижды, чтобы найти четвертый член, и так далее. Десятый член можно найти, умножив первый член на обыкновенное отношение девять раз или умножив на обыкновенное отношение в девятой степени.

Попробуй

Учитывая геометрическую последовательность с и, найти

Написание явной формулы для n- го члена геометрической последовательности

Напишите явную формулу для члена следующей геометрической последовательности.

Обычное отношение равно 5. Подставьте в формулу обычное отношение и первый член последовательности.

График этой последовательности на (Рисунок) показывает экспоненциальный узор.

Рисунок 4.

Попробуй

Напишите явную формулу для следующей геометрической последовательности.

Решение прикладных задач с помощью геометрических последовательностей

В реальных сценариях, включающих арифметические последовательности, нам может потребоваться использовать начальный член вместо вместо. В этих задачах мы можем немного изменить явную формулу, используя следующую формулу:

Решение прикладных задач с помощью геометрических последовательностей

В 2013 году количество учеников в маленькой школе составило 284 человека. По оценкам, количество учеников будет увеличиваться на 4% каждый год.

  1. Напишите формулу для численности учащихся.
  2. Оцените численность студентов в 2020 году.

Ситуацию можно смоделировать геометрической последовательностью с начальным семестром 284. Контингент студентов составит 104% по сравнению с предыдущим годом, поэтому обычное отношение составляет 1,04.

Пусть будет количество студентов и количество лет после 2013 года. Используя явную формулу для геометрической последовательности, мы получаем

Мы можем найти количество лет, прошедших с 2013 года, путем вычитания.

Ищем население через 7 лет. Мы можем заменить 7 на, чтобы оценить численность населения в 2020 году.

В 2020 году численность студентов составит около 374 человек. [/ Hidden-answer]

Попробуй

Бизнес запускает новый веб-сайт. Изначально количество просмотров составляет 293 из-за фактора любопытства. По оценкам компании, количество просмотров будет увеличиваться на 2,6% в неделю.

  1. Напишите формулу количества попаданий.
  2. Оцените количество просмотров за 5 недель.
  1. Количество просмотров составит около 333.

Получите доступ к этим онлайн-ресурсам, чтобы получить дополнительные инструкции и попрактиковаться в геометрических последовательностях.

Ключевые уравнения

рекурсивная формула для члена геометрической последовательности
явная формула для члена геометрической последовательности

Ключевые идеи

  • Геометрическая последовательность - это последовательность, в которой соотношение между любыми двумя последовательными членами является постоянным.
  • Постоянное соотношение между двумя последовательными членами называется обычным соотношением.
  • Общее соотношение можно найти, разделив любой член в последовательности на предыдущий. См. (Рисунок).
  • Члены геометрической последовательности можно найти, начав с первого члена и многократно умножая на обычное отношение. См. (Рисунок) и (Рисунок).
  • Рекурсивная формула для геометрической последовательности с обычным отношением задается для.
  • Как и в любой рекурсивной формуле, необходимо указать начальный член последовательности. См. (Рисунок).
  • Явная формула для геометрической последовательности с обычным отношением приведена на (Рисунок).
  • В прикладных задачах мы иногда слегка изменяем явную формулу, чтобы увидеть (рисунок).

Раздел Упражнения

Словесный

Что такое геометрическая последовательность?

Последовательность, в которой соотношение между любыми двумя последовательными членами постоянно.

Как найти общее отношение геометрической последовательности?

Как определяется, является ли последовательность геометрической?

Разделите каждый термин в последовательности на предыдущий. Если полученные частные равны, то последовательность геометрическая.

В чем разница между арифметической последовательностью и геометрической последовательностью?

Опишите, чем похожи экспоненциальные функции и геометрические последовательности. Насколько они разные?

И геометрические последовательности, и экспоненциальные функции имеют постоянное соотношение. Однако их домены не совпадают. Экспоненциальные функции определены для всех действительных чисел, а геометрические последовательности определены только для положительных целых чисел. Другое отличие состоит в том, что основание геометрической последовательности (обычное отношение) может быть отрицательным, но основание экспоненциальной функции должно быть положительным.

Алгебраический

Для следующих упражнений найдите общее соотношение геометрической последовательности.

ПОПУЛЯРНЫЕ СТАТЬИ