Без кейворда

Естественно, имеет структуру набора продуктов и, таким образом, может быть смоделирован математически как \ [D = \ \ times \ \], где первая координата представляет собой или (туз, от двух до 10, валет, дама, король), а вторая координата представляет (трефы , алмаз, червы, пики). Иногда мы представляем карту в виде строки, а не упорядоченной пары (например, \ (\ queen \, \ heartsuit \)).

Есть много разных игр в покер, но нас будет интересовать стандартная, которая заключается в раздаче 5 случайных карт из колоды \ (D \). Порядок карт не имеет значения , в дро - покере, поэтому мы будем записывать результат нашего случайного эксперимента как случайный набор (руки) \ (\ закладной знак равно \), где \ (X_i = (Y_i, Z_i) \ in D \) для каждого \ (i \) и \ (X_i \ ne X_j \) для \ (i \ ne j \). Таким образом, образец пространства состоит из всех возможных покерных комбинаций: \ [S = \ left \ : x_i \ in D \ text i \ text x_i \ ne x_j \ text i \ ne j \ right \>\] Наше основное предположение моделирования (и значение термина наугад ) состоит в том, что все комбинации в покере равновероятны. Таким образом, случайная величина \ (\ bs \) равномерно распределяется по множеству возможных покерных комбинаций \ (S \). \ [\ P (\ bs \ in A) = \ frac \] С точки зрения статистики покерная комбинация - это случайная выборка размера 5, составленная без замены и без учета порядка в совокупности \ ( D \). Для получения дополнительной информации по этой теме см. Главу о моделях с конечной выборкой.

Ценность руки

С точки зрения стоимости, существует девять различных типов покерных комбинаций. Мы будем использовать числа от 0 до 8 для обозначения руки, где 0 - это тип наименьшего значения (на самом деле никакого значения), а 8 - тип наибольшего значения.

Значение руки \ (V \) покерной руки является случайной величиной, принимающей значения от 0 до 8, и определяется следующим образом:

  1. . Рука не принадлежит ни к одному из других типов.
  2. . В руке 2 карты одного типа и по одной карте трех других типов.
  3. . В руке 2 карты одного вида, 2 карты другого типа и одна карта третьего типа.
  4. . В руке 3 карты одного вида и по одной карте двух других типов.
  5. . Виды карт в руке образуют последовательную последовательность, но не все карты одной масти. Туз может считаться наименьшим достоинством или наибольшим достоинством.
  6. . Все карты одной масти, но типы карт не образуют последовательную последовательность.
  7. . В руке 3 карты одного вида и 2 карты другого типа.
  8. . В руке 4 карты одного типа и 1 карта другого типа.
  9. . Все карты одной масти, и их виды образуют последовательную последовательность.

Проведите покерный эксперимент 10 раз в пошаговом режиме. Для каждого результата обратите внимание, что значение случайной переменной соответствует типу руки, как указано выше.

Для некоторого комического облегчения, прежде чем мы перейдем к анализу, взгляните на две картины СМ Кулиджа « Собаки, играющие в покер ».

Функция плотности вероятности

Вычисление функции плотности вероятности \ (V \) - хорошее упражнение в комбинаторной вероятности. В следующих упражнениях нам понадобятся два основных правила комбинаторики для подсчета количества покерных рук заданного типа: правило умножения и правило сложения. Нам также понадобятся некоторые базовые комбинаторные структуры, в частности комбинации.

Количество различных комбинаций в покере: \ [\ # (S) = \ binom = 2 \, 598 \, 960 \]

\ (\ P (V = 1) = 1 \, 098 \, 240/2 \, 598 \, 960 \ приблизительно 0,422569 \).

Следующие шаги формируют алгоритм генерации покерных рук с одной парой. Также указано количество способов выполнения каждого шага.

  1. Выберите вид карты: \ (13 \)
  2. Выберите 2 карты типа в части (a): \ (\ binom \)
  3. Выберите 3 вида карточек, отличных от вида в (a): \ (\ binom \)
  4. Выберите карту каждого из видов в части (c): \ (4 ^ 3 \)

\ (\ P (V = 2) = 123 \, 552/2 \, 598 \, 960 \ приблизительно 0,047539 \).

Следующие шаги формируют алгоритм генерации покерных рук с двумя парами. Также указано количество способов выполнения каждого шага.

  1. Выберите два типа карточек: \ (\ binom \)
  2. Выберите по две карты каждого из типов в (a): \ (\ binom \ binom \)
  3. Выберите тип карты, отличный от типов в (a): \ (11 \)
  4. Выберите карту вида (c): \ (4 \)

\ (\ P (V = 3) = 54 \, 912/2 \, 598 \, 860 \ приблизительно 0,021129 \).

Следующие шаги формируют алгоритм генерации комбинаций в покере с комбинацией «тройка». Также указано количество способов выполнения каждого шага.

  1. Выберите вид карты: \ (13 \)
  2. Выберите 3 карты типа (a): \ (\ binom \)
  3. Выберите 2 вида карточек, отличных от вида в (a): \ (\ binom \)
  4. Выберите по одной карте каждого вида в (c): \ (4 ^ 2 \)

\ (\ P (V = 8) = 40/2 \, 598 \, 960 \ приблизительно 0,000015 \).

Следующие шаги формируют алгоритм генерации покерных рук со стрит-флешем. Также указано количество способов выполнения каждого шага.

  1. Выберите вид самой младшей карты в последовательности: \ (10 ​​\)
  2. Выберите костюм: \ (4 \)

\ (\ P (V = 4) = 10 \, 200/2 \, 598 \, 960 \ приблизительно 0,003925 \).

Следующие шаги формируют алгоритм для создания покерных рук со стрит или стрит-флеш. Также указано количество способов выполнения каждого шага.

  1. Выберите вид самой младшей карты в последовательности: \ (10 ​​\)
  2. Выберите карту каждого вида в последовательности: \ (4 ^ 5 \)

Наконец, нам нужно вычесть указанное выше количество стэйт-флешей, чтобы получить количество рук со стритом.

\ (\ P (V = 5) = 5108/2 \, 598 \, 960 \ приблизительно 0,001965 \).

Следующие шаги формируют алгоритм для создания покерных рук с флешем или стрит-флешем. Также указано количество способов выполнения каждого шага.

  1. Выберите костюм: \ (4 \)
  2. Выберите 5 карт масти в (a): \ (\ binom \)

Наконец, нам нужно вычесть указанное выше количество стрит-флешей, чтобы получить количество рук с флешем.

\ (\ P (V = 6) = 3744/2 \, 598 \, 960 \ приблизительно 0,001441 \).

Следующие шаги формируют алгоритм генерации покерных рук с фулл-хаусом. Также указано количество способов выполнения каждого шага.

  1. Выберите вид карты: \ (13 \)
  2. Выберите 3 карты типа (a): \ (\ binom \)
  3. Выберите другой тип карты: \ (12 \)
  4. Выберите 2 карты вида (c): \ (\ binom \)

\ (\ P (V = 7) = 624/2 \, 598 \, 960 \ приблизительно 0,000240 \).

Следующие шаги формируют алгоритм генерации комбинаций в покере с каре. Также указано количество способов выполнения каждого шага.

  1. Выберите вид карты: \ (13 \)
  2. Выберите 4 карты вида (a): \ (1 \)
  3. Выберите другой тип карты: \ (12 \)
  4. Выберите карту вида (c): \ (4 \)

\ (\ P (V = 0) = 1 \, 302 \, 540/2 \, 598 \, 960 \ приблизительно 0,501177 \).

По правилу дополнения \ (\ P (V = 0) = 1 - \ sum_ ^ 8 \ P (V = k) \)

Обратите внимание, что функция плотности вероятности \ (V \) уменьшается; чем более ценный тип руки, тем менее вероятно, что тип руки произойдет. Отметим также , что нет значения и одна пара приходится более 92% всех покерных рук.

В эксперименте с покером обратите внимание на форму графика плотности. Обратите внимание, что некоторые из вероятностей настолько малы, что практически не видны на графике. Теперь запустите покер 1000 раз и сравните функцию относительной частоты с функцией плотности.

В покерном эксперименте установите критерий остановки на значение \ (V \), указанное ниже. Обратите внимание на количество требуемых покерных рук.

  1. \ (V = 3 \)
  2. \ (V = 4 \)
  3. \ (V = 5 \)
  4. \ (V = 6 \)
  5. \ (V = 7 \)
  6. \ (V = 8 \)

Найдите вероятность получить комбинацию равную тройке или лучше.

В фильме «Ловушка для родителей» (1998) оба близнеца получают стрит-флеши за одну и ту же покерную сделку. Найдите вероятность этого события.

Классифицируйте \ (V \) по уровню измерения: номинальный , порядковый , интервал или коэффициент . Имеет ли смысл ожидаемое значение \ (V \)?

Рука с парой тузов и парой восьмерок (и пятой картой другого типа) называется a. Название дано в честь Дикого Билла Хикока, который держал такую ​​руку во время своего убийства в 1876 году. Найдите вероятность получить руку мертвеца.

Карты для рисования

В игре каждому игроку раздается покерная комбинация, и проводится начальный раунд ставок. Обычно каждый игрок затем может сбросить до 3 карт, и ему раздается такое количество карт из оставшейся колоды. Это приводит к множеству проблем с условной вероятностью по мере того, как становится доступной частичная информация. Полный анализ выходит далеко за рамки этого раздела, но мы рассмотрим набор простых примеров.

Предположим, что рука Фреда - \ (\ \). Фред сбрасывает \ (\ ферзя \, \ клубный костюм \) и \ (1 \, \ алмазный костюм \) и берет две новые карты, надеясь завершить стрит. Обратите внимание, что Фред должен получить 6 и либо 3, либо 8. Поскольку у него отсутствует средний номинал (6), у Фреда есть. Найдите вероятность того, что Фред добьется успеха.

Предположим, что рука Вильмы - это \ (\ \). Вильма сбрасывает \ (\ queen \, \ clubuit \) и \ (1 \, \ diamondsuit \) и берет две новые карты, надеясь завершить стрит. Обратите внимание, что Вильма должна получить 2 и 3, или 7 и 8, или 3 и 7. Найдите вероятность того, что Вильма добьется успеха. Ясно, что у Вильмы больше шансов, чем у Фреда.

ПОПУЛЯРНЫЕ СТАТЬИ