Предварительный просмотр контента

Бинарная переменная - это переменная, которая имеет два возможных результата. Например, пол (мужской / женский) или наличие татуировки (да / нет) являются примерами двоичной категориальной переменной.

Случайная величина может быть преобразована в двоичную переменную, определяя «успех» и «неудачу». Например, рассмотрите возможность катания правильного шестигранного кубика и записи стоимости лица. Случайная величина, значение лица, не является двоичным. Однако, если нас интересует событие A = , то «успех» - это выпадение тройки. Неудача будет любым значением, не равным трем. Следовательно, мы можем создать новую переменную с двумя результатами, а именно A = и B = или . Эта новая переменная теперь является двоичной переменной.

Биномиальное распределение

Биномиальное распределение - это особое дискретное распределение, в котором есть два различных дополнительных результата, «успех» и «неудача».

Мы имеем биномиальный эксперимент, если выполняются ВСЕ следующие четыре условия:

  1. Эксперимент состоит из n идентичных испытаний.
  2. Каждое испытание приводит к одному из двух результатов, называемых успехом и неудачей.
  3. Вероятность успеха, обозначаемая p, остается неизменной от испытания к испытанию.
  4. N испытаний независимы. То есть результат любого испытания не влияет на результаты других.

Если четыре условия выполнены, то случайная величина \ (X \) = количество успехов в \ (n \) испытаниях является биномиальной случайной величинойс

\ (p \; (или \ \ pi) \) = вероятность успеха

Пример 3-5: Раздел "Предыдущие судимости"

Давайте воспользуемся примером с предыдущей страницы, исследуя количество предыдущих судимостей для заключенных в государственной тюрьме, в которой было 500 заключенных. Определите «успех» как событие, при котором заключенный ранее не судим. Найдите \ (p \) и \ (1-p \).

Отвечать

Пусть Успех = без априори (0)

Пусть Failure = priors (1, 2, 3 или 4)

Оглядываясь назад на наш пример, мы можем обнаружить, что:

Пример 3-6: Раздел обзора преступности

Опрос ФБР показывает, что около 80% всех преступлений против собственности остаются нераскрытыми. Предположим, что в вашем городе совершено 3 таких преступления, каждое из которых считается независимым друг от друга. Какова вероятность раскрытия одного из трех преступлений?

Во-первых, мы должны определить, удовлетворяет ли эта ситуация ВСЕМ четырем условиям биномиального эксперимента:

  1. Удовлетворяет ли он фиксированному количеству испытаний? ДА, количество испытаний установлено на 3 (n = 3.)
  2. У него всего 2 исхода? ДА (решено и не решено)
  3. Все ли испытания имеют одинаковую вероятность успеха? ДА (p = 0,2)
  4. Все ли преступления независимы? ДА (указано в описании.)

Чтобы определить вероятность раскрытия только одного из трех преступлений, мы сначала вычисляем вероятность раскрытия одного из преступлений. При трех таких событиях (преступлениях) есть три последовательности, в которых раскрывается только одно:

  • Решенный первый, нерешенный второй, нерешенный третий = (0,2) (0,8) (0,8) = 0,128
  • Неразрешенный первый, решенный второй, нерешенный третий = (0,8) (0,2) (0,8) = 0,128
  • Неразрешенное первое, нерешенное второе, решенное третье = (0,8) (0,8) (0,2) = 0,128

Мы складываем эти 3 вероятности и получаем 0,384. Глядя на это с точки зрения формулы, у нас есть три возможных последовательности, каждая из которых включает одно решенное и два нерешенных события. Сложив все это вместе, мы получим следующее: \ (3 (0,2) (0,8) ^ 2 = 0,384 \)

Приведенный выше пример и его формула иллюстрируют мотивацию биномиальной формулы для нахождения точных вероятностей.

Для биномиальной случайной величины с вероятностью успеха используются \ (p \) и \ (n \) испытания.

Графическое отображение раздела биномиальных распределений

Вышеуказанная формула представляет собой функцию массы вероятности pmf для бинома. Мы можем построить график вероятностей для любых заданных \ (n \) и \ (p \). Следующие распределения показывают, как графики меняются при заданном n и различных вероятностях.

Пример 3-7: Продолжение исследования преступности. Раздел

Какова вероятность раскрытия хотя бы одного из преступлений, для примера ФБР «Обследование преступности»?

Отвечать

Здесь мы ищем решение \ (P (X \ ge 1) \).

Есть два пути решения этой проблемы: длинный и короткий путь.

Долгий путь решения для \ (P (X \ ge 1) \). Это было бы решить \ (P (x = 1) + P (x = 2) + P (x = 3) \) следующим образом:

Складываем все вышеперечисленные вероятности и получаем 0,488. ИЛИ. мы можем сделать короткий путь, используя правило дополнения. Здесь дополнение к \ (P (X \ ge 1) \) равно \ (1 - P (X

В такой ситуации, когда произошло три преступления, какова ожидаемая стоимость и стандартное отклонение преступлений, которые остаются нераскрытыми? Здесь мы применяем формулы для математического ожидания и стандартного отклонения бинома.

Примечание : X может принимать только значения 0, 1, 2,. n, но ожидаемое значение (среднее) X может быть некоторым значением, отличным от тех, которые могут быть приняты X.

Пример 3-8: Секция перекрестного внесения удобрений

При перекрестном оплодотворении красного и белого цветов в 25% случаев появляются красные цветы. Теперь мы перекрестно оплодотворяем пять пар красных и белых цветков и производим пять потомков. Найдите вероятность того, что у пятерых потомков не будет растений с красными цветками.

Отвечать

Y = количество красных цветковых растений в пяти потомках. Здесь количество растений с красными цветками имеет биномиальное распределение с \ (n = 5, p = 0,25 \).

ПОПУЛЯРНЫЕ СТАТЬИ