Без кейворда

Вероятность - это мера, которая связана с тем, насколько мы уверены в результатах определенного эксперимента или деятельности. Экспериментявляется спланированная операция осуществляется в контролируемых условиях. Если результат не предопределен, эксперимент считается случайным.

Пример эксперимента: дважды подбросить одну честную монету.

Результат эксперимента называется исходом. Пространство выборкиэксперимента - это набор всех возможных результатов. Три способа представить пространство выборки: перечислить возможные результаты, создать древовидную диаграмму или создать диаграмму Венна. Заглавная буква S используется для обозначения выборочного пространства.

Пример: если вы подбросили одну честную монету, S = < H , T >, где H = решка и T = решка - это результат.

Событиеявляется любой комбинацией результатов. Заглавные буквы, такие как A и B, обозначают события. Например, если эксперимент заключается в подбрасывании одной справедливой монеты, событие A может получить не более одной головы.

Пример: вероятность события A - это вероятность получить не более одной головы. Он также записывается как P ( A ).

Вероятностьлюбого результата является относительной частотой долгосрочнойэтого результата. Вероятности находятся между нулем и единицей включительно(то есть вероятность события [latex] \ leq [/ latex] 1 [latex] \ leq [/ latex] равна 0).

  • P ( A ) = 0 означает, что событие A никогда не произойдет.
  • P ( A ) = 1 означает, что событие A происходит всегда.
  • P ( A ) = 0,5 означает, что событие A с одинаковой вероятностью произойдет или не произойдет.

Пример: если вы подбрасываете одну честную монету несколько раз (от 20 до 2 000 - 20 000 раз), относительная частота выпадения орла приближается к 0,5 (вероятность выпадения орла).

Равно вероятностьозначает, что каждый исход эксперимента происходит с равной вероятностью.

Пример:

  1. Если вы бросить ярмарку, шестигранный кубик, каждая грань (1, 2, 3, 4, 5 или 6) , как может произойти , как и любой другой поверхности.
  2. Если вы подбросите честную монету, вероятность выпадения головы ( H ) и хвоста ( T ) одинакова.
  3. Если вы случайным образом угадываете ответ на истинный / ложный вопрос на экзамене, вы с одинаковой вероятностью выберете правильный или неправильный ответ.

Чтобы вычислить вероятность события A, когда все исходы в пространстве выборки равновероятны, подсчитайте количество исходов для события A и разделите на общее количество исходов в пространстве выборки.

  • Если вы подбросите честную пятерку и приличную пятерку, вы увидите четыре возможных исхода. Эти 4 результата образуют пространство для выборки. Следовательно, пробелом является < HH , TH , HT , TT >, где T = решка, а H = голова.

    Если событие A = получение одной головы, то есть два исхода, которые удовлетворяют этому условию < HT , TH >.
  • Предположим, вы бросаете один хороший шестигранный кубик с числами на его гранях. Пусть событие E = выпадение числа, равного как минимум пяти. Есть два исхода .

Эта важная характеристика вероятностных экспериментов известна как закон больших чисел,который гласит, что по мере увеличения количества повторений эксперимента относительная частота, полученная в эксперименте, имеет тенденцию становиться все ближе и ближе к теоретической вероятности. Несмотря на то, что результаты не происходят в соответствии с какой-либо установленной схемой или порядком, в целом долгосрочная наблюдаемая относительная частота будет приближаться к теоретической вероятности. (Слово « эмпирический»часто используется вместо слова «наблюдаемый».)

Это видео дает больше примеров основных вероятностей.

Важно понимать, что во многих ситуациях результаты не одинаково вероятны. Монета или игральная кость могут быть несправедливымиили предвзятыми.

  1. Два профессора математики в Европе попросили своих студентов-статистиков протестировать бельгийскую монету в один евро и обнаружили, что в 250 попытках голова была получена в 56% случаев, а хвост - в 44%. Данные, кажется, показывают, что монета нечестная; чтобы сделать более точный вывод о такой предвзятости, было бы полезно больше повторений.
  2. Некоторые кости могут быть необъективными. Посмотрите на игральные кости в игре, которые есть у вас дома; пятна на каждом лице обычно представляют собой небольшие отверстия, вырезанные и затем окрашенные, чтобы пятна были видны. Ваша игра в кости может быть предвзятой, а может и нет; возможно, что на результат может повлиять небольшая разница в весе из-за разного количества отверстий на гранях. Казино с азартными играми зарабатывают много денег в зависимости от результатов броска игральных костей, поэтому кости казино изготавливаются по-другому, чтобы избежать предвзятости. У игральных костей казино плоские грани; отверстия полностью заполнены краской той же плотности, что и материал, из которого сделаны игральные кости, так что вероятность появления каждой грани одинакова. Позже мы изучим методы работы с вероятностями для событий, которые не равновероятны.

«ИЛИ» Событие

Результат в случае ИЛИ В случае , если результат в A или в B или в обоих A и B . Например, пусть A = и B = .

А ИЛИ B = . ( Обратите внимание, что 4 и 5 НЕ указаны дважды.)

Событие «И»

Результат в случае A И B , если результат в обоих A и B одновременно.

Например, пусть A = и B = соответственно. Затем

Бесплатное мероприятие

Дополнениесобытийного А обозначается А ' (читается « А прайм»). А ' состоит из всех результатов, которые НЕв А .

Условная вероятность события

Условная вероятностьиз A данного B записывается Р ( | Б ). P ( A | B ) - вероятность того, что событие A произойдет, при условии, что событие B уже произошло. Условное выражение уменьшает пространство выборки.Вычислим вероятность А из восстановленного образца пространства B . Формула для вычисления P ( A | B ):

Предположим, мы подбрасываем одну красивую шестигранную кость. Пространство выборки S = .

Пусть событие A = лицо равно 2 или 3, а B = событие, что лицо четное.

Событие A = , событие B = .

Чтобы вычислить P ( A | B ), мы подсчитываем количество исходов 2 или 3 в пространстве выборки B = . Затем мы делим это на количество результатов B (а не S ).

Тот же результат мы получаем, используя формулу. Помните, что у S шесть результатов.

A и B = (поскольку 2 появляется как в событии A, так и в событии B.)

Понимание терминологии и символов

Важно внимательно прочитать каждую проблему, чтобы обдумать и понять, в чем заключаются события. Понимание формулировки - первый очень важный шаг в решении вероятностных задач. При необходимости перечитайте задачу несколько раз. Четко определите интересующее событие. Определите, есть ли в формулировке условие, которое указывало бы на то, что вероятность является условной; внимательно определите состояние, если оно есть.

Пример 1

Пространство отсчетов S - это целые числа, начиная с единицы и меньше 20.

    S = _____________________________ Пусть событие A = четные числа, а событие B = числа больше 13.

ПОПУЛЯРНЫЕ СТАТЬИ